Questão 50617
Enunciado:
Equações em geometria analítica correspondem a curvas e superfícies. Uma curva típica é descrita por uma função, que gera um valor no eixo y de cada valor no eixo x. Uma superfície típica é descrita por uma função, que gera um valor no eixo z de cada par de coordenadas x-y. As equações cinemáticas são descritas de uma maneira um pouco diferente. A posição de um objeto em movimento muda com o tempo. Como os valores x, y e z dependem de um parâmetro adicional (tempo) que não faz parte do sistema de coordenadas, as equações cinemáticas também são conhecidas como equações paramétricas. Por exemplo, as equações paramétricas permitem fazer um gráfico que representa a posição de um ponto em uma roda gigante. Todos os detalhes, como altura do solo, direção e velocidade de rotação, podem ser modelados usando as equações paramétricas.
Logo, ao usar equações paramétricas, podemos calcular várias informações sobre a curva; dentre elas, o comprimento da curva.
Assinale a alternativa que descreve corretamente o comprimento L da curva \( y = x^{2} + 2x + 4 \), para \( 2 \le x \le 7 \).
A) \( L = \int_{2}^{7} \sqrt{1 + 4 t^{2}} \, dt. \)
B) \( L = \int_{2}^{7} \sqrt{x^{2} + 2x + 4} \, dx. \)
C) \( L = \int_{2}^{7} \sqrt{1 + 4t} \, dt. \)
D) \( L = \int_{3}^{8} \sqrt{1 + t^{2}}\, dt. \)
E) \( L = \int_{3}^{8} \sqrt{1 + 4 t^{2}}\, dt. \)
Justificativa:
JUSTIFICATIVA
O comprimento do traço da curva r de r(a) até r(b) é dado por:
\( L = \int_{a}^{b} \lvert r'(t) \rvert \, dt \).
A equação dada no enunciado não está em forma paramétrica: \( y = x^{2} + 2x + 4 \), para \( 1 \le x \le 7 \).
Temos: \( y = x^{2} + 2x + 4 = (x+1)^{2} + 3 \).
Uma parametrização possível, fazendo x+1=t, é a curva \( r(t) = (t-1, t^{2}+3) \).
Como \( 2 \le x \le 7 \), temos \( 3 \le t \le 8 \).
Daí:
\( \begin{array}{l} r(t) = (t - 1, t^{2} + 3).\\ r'(t) = (1, 2t). \end{array} \)
\( L = \int_{3}^{8} \lvert r'(t)\rvert \, dt = \int_{3}^{8} \sqrt{1^{2} + (2t)^{2}} \, dt = \int_{3}^{8} \sqrt{1 + 4t^{2}} \, dt. \)
A alternativa que apresenta \( L = \int_{2}^{7} \sqrt{1 + 4 t^{2}}\, dt \) está incorreta (os limites de integração em t são 3 e 8).
A alternativa que apresenta \( L = \int_{2}^{7} \sqrt{x^{2} + 2x + 4}\, dx \) está incorreta, pois não utilizou o cálculo de comprimento de arco.
A alternativa que apresenta \( L = \int_{2}^{7} \sqrt{1 + 4 t}\, dt \) está incorreta; tanto o limite de integração quanto o integrando não se destacam de maneira adequada.
A alternativa que apresenta \( L = \int_{3}^{8} \sqrt{1 + t^{2}}\, dt \) está incorreta, pois destaca o integrando, de fato, incorreto.