Questão 108732
Enunciado:
Ao estudar séries infinitas, percebemos que nem sempre é possível calcular diretamente a soma de todos os termos. Em muitos casos, precisamos analisar o comportamento relativo entre termos consecutivos para compreender se a soma tende a um valor finito ou cresce indefinidamente.
O Critério da Razão (de D’Alembert) é especialmente eficaz quando a série envolve potências e fatoriais, pois a razão entre termos sucessivos simplifica significativamente a expressão e revela o comportamento da série.
Considere a série: \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!} \). Aplique o Critério da Razão para determinar o comportamento da série e assinale a resposta correta:
A) A série diverge porque o limite da razão é maior que 1.
B) A série converge porque o limite da razão é 0.
C) O critério é inconclusivo porque o limite da razão é 1.
D) A série diverge porque contém fatoriais no denominador.
E) A série converge apenas para \( n>2 \).
Justificativa:
A alternativa "A série converge porque o limite da razão é 0." está correta pois, aplicando o critério da razão:
\( \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^n/n!} = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{n+1} = 0 \)E se \( L<1 \), a série é convergente.