Questão 108729
Enunciado:
Em sistemas físicos, dizemos que há movimento oscilatório quando a solução apresenta comportamento periódico, isto é, quando envolve funções seno e cosseno, indicando variação repetitiva em torno de uma posição de equilíbrio.
Considere o modelo de um sistema massa-mola ideal descrito por \( y''+6y'+9y=0 \). Antes de resolver completamente a equação, um estudante afirma: “O sistema apresenta movimento oscilatório, pois se trata de uma equação diferencial homogênea de segunda ordem.”
Avalie a afirmação do estudante com base na equação auxiliar e, em seguida, assinale a alternativa correta:
A) A afirmação é correta, pois toda EDO de segunda ordem homogênea produz oscilações.
B) A afirmação é correta porque o discriminante é negativo.
C) A afirmação é incorreta, pois a equação auxiliar possui raiz real dupla e a solução não é oscilatória.
D) A afirmação é incorreta porque a solução é polinomial.
E) A afirmação é correta, pois sempre haverá senos e cossenos na solução.
Justificativa:
A alternativa "A afirmação é incorreta, pois a equação auxiliar possui raiz real dupla e a solução não é oscilatória." está correta. Veja a solução:
Equação auxiliar:
\( r^{2}+6r+9=0 \)
\( (r+3)^{2}=0 \)
Raiz real dupla \( r=-3 \).
Raiz real dupla implica solução do tipo:
\( y(x)=C_{1} e^{-3 x}+C_{2} x e^{-3 x} \)
A solução é oscilatória quando o discriminante é negativo, pois isso gera raízes complexas conjugadas e a solução envolve funções seno e cosseno.
A alternativa "A afirmação é correta, pois toda EDO de segunda ordem homogênea produz oscilações." está incorreta porque apenas raízes complexas geram soluções periódicas pois envolve senos e cossenos.
A alternativa "A afirmação é correta porque o discriminante é negativo." está incorreta porque o discriminante é zero, não negativo:
\( \begin{array}{l}\Delta=6^{2}-4\cdot 1\cdot 9\\[6pt]\Delta=0\end{array} \)
A alternativa "A afirmação é incorreta porque a solução é polinomial." está incorreta porque a solução é exponencial, não polinomial pura.
A alternativa "A afirmação é correta, pois sempre haverá senos e cossenos na solução." está incorreta porque funções seno e cosseno surgem apenas quando as raízes são complexas conjugadas.